Formas de la condicional: Inversa, recíproca y contrapositiva. Formas alternativas de la condicional. Bicondicional.

 

Muchos teoremas o propiedades en las matemáticas se definen en la forma si… entonces. Cualquier enunciado que se encuentre en la forma condicional de p →q, tendrá en su forma un antecedente p o un consecuente. Si se intercambian, se niegan, o ambas propiedades al mismo tiempo, se tiene el resultado de la formación de un nuevo enunciado condicional. Por lo tanto, se tiene que:

Enunciado condicional	p →q	Si p, entonces q
Converso	q →p	Si q, entonces p
Inverso	~p →~q	Si no p, entonces no q
Contrapositivo	~q →~p	Si no q entonces no p

 

Se pueden establecer las siguientes características:
Un enunciado condicional y su contrapositivo siempre tienen los mismos valores de verdad, lo que posibilita la sustitución de cualquier enunciado con su contrapositivo sin alterar el significado lógico.

El converso y el inverso tienen los mismos valores de verdad.

p	q	p →q (Condicional)	q →p (Converso)	~p →~q (Inverso)	~q →~p (Contrapositivo)
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F
F	V	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V

 

Para las proposiciones condicionales se tienen las siguientes conversiones comunes p →q

El condicional p →q se puede interpretar de las siguientes maneras, ninguna de las cuales depende de la verdad o falsedad de p →q.

Si p, entonces q.	p es suficiente para q
Si p, q.	q es necesario para p
p implica q.	todas las p son q
p solo si q	q si p

 

En el caso de bicondicionales, se puede encontrar el enunciado compuesto por p si y solo si q, esta manera se puede abreviar como “p sii q”, se simboliza similar a la condicional con la diferencia que se utiliza una flecha de doble punta “↔”, se interpreta como la conjunción de las dos condicionales, p→q y q → p. Usando símbolos, esta conjunción se puede escribir como (q→p) ^ (p→q) de modo que por definición se representa como:

P↔q = (q→p) ^ (p→q)

La tabla de verdad para el bicondicional p↔q se determina usando la siguiente tabla de verdad.

p	q	p↔q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

 

Como manera más fácil de aprenderse la tabla de verdad para los bicondicionales se tiene que, un bicondicional es verdadero cuando ambos enunciados o componentes tienen el mismo valor de verdad. Es falso cuando tienen diferentes valores de verdad.